圆的切点弦方程推导过程

圆的切点弦方程推导过程(1)

设圆外点P（m，n），两切点坐标A（X1，y1）B（X2，y2）圆方程（X-a）^2+（y-b）^2=R^2，则过切点A切线方程（X1-a）（X-a）+（y1-b）（y-b）=R^2，过B切线方程（X2-a）（X-a）+（y2-b）（y-b）=R^2。

切线过P点，把P坐标代入两切线方程。可得A，B在直线（X-a）（m-a）+（y-b）（n-b）=R^2上。此直线方程为切点弦方程。

圆的切点弦方程推导过程(2)

过圆x²+y²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB, A(x1,y1),B(x2,y2)是切点,则过AB的直线xx0+yy0=r²,称切点弦方程。

证明: x²+y²=r²在点A,B的切线方程是xx1+yy1=r²,xx2+yy2=r²,

∵ 点P在两切线上, ∴ x0x1+y0y1=r²,x0x2+y0y2=r²,此二式表明点A,B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r², 而过点A,B的直线是唯一的, ∴ 切点弦方程是xx0+yy0=r²。

说明:① 切点弦方程与圆x²+y²=r²上一点T(x0,y0)的切线方程相同。

② 过圆(x-a)²+(y-b)²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r²。