设<G,·>是一个幺半群，e是G的单位元，x∈G，若存在x\'∈G，使得： 1. x\'·x = e，则称x\'是x的左逆元。 2. x·x\' = e，则称x\'是x的右逆元。 3. 若x\'既是x的左逆元，又是x的右逆元，则x\'称为x的逆元。 注意： 1.G中元素的左逆元和右逆元不一定相等。 2.G中元素不一定都存在逆元。
编辑本段密码学中的逆元
在模运算中， 加法单位元是0，因为(0+a) mod m = a mod m； 乘法单位元是1，因为(1×a) mod m = a mod m 定义 对a∈Zm，存在b∈Zm，使得a+b ≡ 0 (mod m)，则b是a的加法逆元，记b= - a。 定义 对a∈Zm，存在b∈Zm，使得a×b ≡1 (mod m)，则称b为a的乘法逆元。 逆元在密码学中有广泛应用，AES密码体系的字节替代就是运用了逆元。
